水にゃのウネウネ

流体力学

\large \frac{du}{dt} = k( \frac{d ^ 2 u}{d x^2} + \frac{d ^ 2 u}{d y^2})
\large \frac{du}{dt} = \frac{u( t + \Delta t ) - u(t)}{\Delta t} = \frac{u ^ {n+1} - u ^ n}{\Delta t}
\large \frac{u ^ {n+1} - u ^ n}{\Delta t} = k \frac{u_{i+1,j}^n - 2 u_{i,j}^n + u_{i - 1,j}^n}{(\Delta x) ^ 2} + k \frac{u_{i,j+1}^n - 2 u_{i,j}^n + u_{i,j - 1}^n}{(\Delta y) ^ 2}
\large u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^n + r ( u_{i+1,j}^n - 2 u_{i,j}^n + u_{i-1,j}^n ) + s ( u_{i,j + 1}^n - 2 u_{i,j}^n + u_{i,j - 1}^n ) , r = \frac{k \Delta t}{(\Delta x) ^ 2} , s = \frac{k \Delta t}{(\Delta y) ^ 2}
r=sの場合
\large u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^n + r ( u_{i+1,j}^n + u_{i-1,j}^n + u_{i,j + 1}^n + u_{i,j - 1}^n - 4 u_{i,j}^n )
よく見る水にゃのウネウネにゃの式はこれにゃ？　にてるしにゃ〜（ぉぃ

オイニャ〜陽解法 \large u^{n+1} = u ^ n + \Delta t \frac{du}{dt}

安定にするにゃには、
\large r+s = \frac{k \Delta t}{( \Delta x ) ^ 2} + \frac{k \Delta t}{( \Delta y ) ^ 2}≦\large \frac1{2}
r=sにゃと
\large 2 r = 2 \frac{k \Delta t}{( \Delta x ) ^ 2}≦\large \frac1{2}
\large r = \frac{k \Delta t}{( \Delta x ) ^ 2}≦\large \frac1{4}

以下ってにゃのをtexでどう書くにゃか不明にゃので、醜いことにゃに。
あと、偏微分にゃの記号にゃも（以下略

周りにゃを足して平均とって自分を引くってかんじにゃににゃるのは、安定する為の条件からくるにゃかにゃ。