昨日にゃの続きですにゃ…

流体力学

\large \frac{d^2 u}{dt ^ 2} = k( \frac{d ^ 2 u}{d x^2} + \frac{d ^ 2 u}{d y^2})
昨日の間違ってにゃのとおんにゃじようにゃに、中心差分にゃで〜
\large \frac{d^2 u}{dt^2} = \frac{u( t + \Delta t ) - 2u(t) + u( t - \Delta t )}{(\Delta t)^2} = \frac{u ^ {n+1} - 2u ^ n + u ^ {n-1}}{(\Delta t)^2}
\large \frac{u ^ {n+1} - 2u ^ n + u ^ {n-1}}{(\Delta t)^2} = k \frac{u_{i+1,j}^n - 2 u_{i,j}^n + u_{i - 1,j}^n}{(\Delta x) ^ 2} + k \frac{u_{i,j+1}^n - 2 u_{i,j}^n + u_{i,j - 1}^n}{(\Delta y) ^ 2}
\large u_{i,j}^{n+1}について整理にゃ
\large u_{i,j}^{n+1} = 2u_{i,j}^n - u_{i,j}^{n - 1} + r ( u_{i+1,j}^n - 2 u_{i,j}^n + u_{i-1,j}^n ) + s ( u_{i,j + 1}^n - 2 u_{i,j}^n + u_{i,j - 1}^n ) , r = \frac{k (\Delta t) ^ 2}{(\Delta x) ^ 2} , s = \frac{k (\Delta t) ^ 2}{(\Delta y) ^ 2}
r=sの場合
\large u_{i,j}^{n+1} = 2u_{i,j}^n - u_{i,j}^{n - 1} + r ( u_{i+1,j}^n + u_{i-1,j}^n + u_{i,j + 1}^n + u_{i,j - 1}^n - 4 u_{i,j}^n )
安定にするにゃには、
\large r+s = \frac{k (\Delta t) ^ 2}{( \Delta x ) ^ 2} + \frac{k (\Delta t) ^ 2}{( \Delta y ) ^ 2}≦\large \frac1{2}
r=sにゃと
\large 2 r = 2 \frac{k (\Delta t) ^ 2}{( \Delta x ) ^ 2}≦\large \frac1{2}　　\large r = \frac{k (\Delta t) ^ 2}{( \Delta x ) ^ 2}≦\large \frac1{4}
\large r = \frac1{4}とするとにゃ
\large u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^n - u_{i,j}^{n - 1} + \frac1{4}(u_{i+1,j}^n + u_{i-1,j}^n + u_{i,j + 1}^n + u_{i,j - 1}^n)

\large u_{i,j}^{n-1}にゃ項が出てきたにゃけど、既にわかってるってことにゃで、次のステップを計算できるにゃ。